Симметрия

Опыты с зеркалами позволили нам прикоснуться к удиви­тельному математическому явлению — СИММЕТРИИ. В древности слово «симметрия» употреблялось в значении «гармония», «красота». Действительно, в переводе с гречес­кого это слово означает «соразмерность, пропорциональ­ность, одинаковость в расположении частей».

Посмотрите на кленовый лист, снежинку, бабочку. Их объединяет то, что они симметричны. Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке пря­мой, то отраженная в зеркале половинка фигуры допол­нит ее до целой (такой же, как исходная фшура). Потому такая симметрия называется ЗЕРКАЛЬНОЙ (или ОСЕ­ВОЙ, если речь идет о плоскости). Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется ОСЬЮ СИММЕТРИИ.

симметрия' width=423 height=342 src='http://s46.radikal.ru/i112/1106/6f/f01794b1dc7c.jpg

Если симметричную фигуру сложить пополам вдоль оси симметрии, то ее части совпадут (рис. 243).

Среди фигур, изображенных на рис. 244, выберите сим­метричные и проведите в них всевозможные оси сим­метрии.

Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, совре­менным зданиям она придает гармоничность, закончен­ность (рис. 245).

Найдите как можно больше симметричных предметов, сооружений в окружающей обстановке дома и на улице.

Сравним две фигуры (кляксу и ажурную бумажную сал­фетку или «снежинку»). Клякса получилась так: на лист бумаги капнули чернил, сложили лист вдвое и затем разогнули. Линия сгиба — ось симметрии кляксы. Клякса (рис. 246) имеет одну (вертикальную) ось симметрии. Ана­логичным образом получилась «снежинка», только лист бумаги согнули несколько раз, вырезали из этого «слоено-

П-Зак. 986                                                                                         161

симметрия' width=440 height=391 src='http://s009.radikal.ru/i307/1106/9d/bfe265ed5933.jpg

го листа» кусок, а затем разогнули лист. У «снежинки» несколько линий сгиба, и все они являются осями сим­метрии. У этой «снежинки» (рис. 247) четыре оси симмет­рии. У геометрических фигур может быть одна или не­сколько осей симметрии, а может и не быть вовсе.

Мысленно перегибая бумагу, определите, сколько осей симметрии имеет каждая из фигур, показанных на рис. 248.

Как расположены оси симметрии фигуры, если их боль­ше двух?

Какая из изображенных на рис. 248 фигур «самая сим­метричная»?

Какая самая «несимметричная»?

Определите, что общего у фигур, изображенных на рис. 249.

симметрия' width=432 height=448 src='http://i061.radikal.ru/1106/12/bb42177cc8cd.jpg

Какая из фигур, приведенных на рис. 250, лишняя?

1. Известно, что фигура имеет две оси симметрии. Чему

равен угол между осями? Вспомним опыт № б с двумя плоскими зеркалами (см. §28). С помощью составленного из двух зеркал калейдоскопа нам удавалось получать симметричные фигуры. Зеркально отражаясь, нарисованная на бумаге линия сама «достра­ивала» себя до некоторой симметричной фигуры. Например, если зеркала стоят под углом 60° друг к другу, то линия отражается шесть раз (рис. 251) и полученная фигура имеет три оси симметрии.

Изобразите в виде прямых два зеркала под углом 90 друг к другу. Затем нарисуйте в одном из углов какую-

симметрия' width=424 height=234 src='http://s008.radikal.ru/i306/1106/a9/4f7e6c739ac7.jpg

либо линию и, не пользуясь настоящими зеркалами, дорисуйте ее до симметричной фигуры, которая получи­лась бы при отражении в зеркалах.

В предыдущем задании построения выполнялись на глаз. А как точно нарисовать отражение фигуры в зеркале?

Представим, что прямая I — зеркало (или ОСЬ СИММЕТ­РИИ). Построим отражение ломаной ABC (рис. 252).

1.      Из вершин А и Б опускаем перпендикуляры на пря­мую L

2.     Продолжаем их «за зеркало» на такое же расстояние (равное длине соответствующего отрезка).

3.     Соединяем полученные точки. Ломаная А\В\С — отра­жение АБС. (Точка С осталась на месте. Она лежит на оси симметрии.)

Пусть два зеркала поставлены параллельно друг другу отражающими поверхностями внутрь. Между ними на бумаге нарисована некоторая линия. Нарисуйте отраже­ние этой линии в каждом из зеркал.

Два зеркала стоят перпендикулярно друг к другу. Между ними нарисована кривая, идущая от зеркала к зеркалу. Сколько раз отразится кривая в зеркалах? Сколько осей симметрии имеет полученная фигура? Проделайте опыт.

Постройте фигуру, получающуюся при отражении задан­ного отрезка в изображенных на рисунке зеркалах

симметрия' width=469 height=148 src='http://s012.radikal.ru/i320/1106/1f/8266ac1a86c5.jpg

(рис. 253). Сколько осей симметрии у каждой из получив­шихся фигур?

2. Две прямые, пересекающиеся под углом 15°, являются осями симметрии некоторого многоугольника. Какое наименьшее число вершин может иметь этот много­угольник?

Кроме осевой и зеркальной симметрии существует еще и ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. Она характеризуется на­личием центра симметрии — точки О, обладающей опре­деленным свойством. Можно сказать, что

точка О является центром симметрии, если при повороте вокруг точки О на 180° фигура переходит сама в себя (рис. 254).

Но такое определение удобно лишь для плоскости. А как быть с пространственными фигурами (телами)? Ведь поня­тие центральной симметрии распространяется и на трех­мерное пространство.

Дайте определение центральной симметрии, удобное и для пространственных тел.

Приведите примеры плоских фигур, имеющих центр сим­метрии, но не имеющих оси (осей) симметрии. А теперь наоборот, — фигур, имеющих ось (или оси) симметрии, но не имеющих центра симметрии.

Если фигура имеет и оси симметрии и центр симметрии, то подумайте, каким может быть число осей симметрии такой фигуры?

Проверить, является ли фигура центрально-симметричной или нет, можно с помощью обычной иголки и кальки. Наложим на нашу фигуру кальку. Проколов фигуру в

\

предполагаемом центре и обведя ее контур, надо повер­нуть фигуру на 180° вокруг иголки.

Если фигура «вошла» в свой контур, то она цент­рально-симметрична (рис. 255).