Задачи, головоломки, игры

Много прекрасных плодов растет в саду под названием «Геометрия». Каждый может найти для себя задачу и интересную, и посильную. Но все же: «В задачах тех ищи удачи, где получить рискуешь сдачи». 1.       Сколько граней у шестигранного карандаша?

2.       Кузнецу принесли пять цепей, по три звена в каждой, и поручили соединить их в одну цепь. Кузнец решил раскрыть четыре кольца и снова их заковать. Нельзя ли выполнить ту же работу, раскрыв меньше колец?

3.       Дан бумажный круг. Перегибанием бумаги найдите его центр.

4.       Сделайте в тетрадном листке разрез так, чтобы в образовавшуюся дыру можно было бы пролезть.

5.       ДЕСЯТЬ БАШЕН. В древности один правитель желал построить десять башен, соединенных между собой стенами. Стены должны тянуться пятью прямыми .ли­ниями, с четырьмя башнями на каждой линии. При­глашенный строитель представил план (рис. 291), но правитель остался недоволен им: ведь при такой рас­положении можно извне подойти к любой башне. А цравителю хотелось, чтобы если не все, то хрть одна или две башни были защищены стеной от вторжения извне. Строитель возразил, что нельзя удовлетворить этому условию, но правитель настаивал на своём. Долго строитель ломал голову над задачей и наконец решил ее. Попробуйте и вы найти несколько решений этой проблемы.

6.       ПЛОДОВЫЙ САД. В саду росло 49 деревьев (рис. 292). Садовник решил расчистить сад от лишних Деревьев для цветников. Позвав работника, он дал ему,такое распоряжение: «Оставь только пять рядов деревьев, по четыре дерева в каждом. Остальные сруби и возьми себе на дрова за работу». Когда вырубка закон­чилась, садовник вышел посмотреть на работу. К его огорчению, сад был почти опустошен: вместо 20 дере-

задачи, головоломки, игры' width=437 height=268 src='http://i013.radikal.ru/1106/0d/fac9853bca3c.jpg

вьев работник оставил всего только 10, срубив 39 деревьев.

—     Почему ты вырубил так много? Ведь тебе сказано было оставить 20 деревьев! — распекал садовник ра­ботника.

—      Нет, не сказано: «20». Сказано было оставить 5 рядов по 4 дерева в каждом. Я так и сделал.

Как ухитрился он вырубить 39 деревьев и все-таки выполнить указание?

7.        Всмотритесь внимательно в узор (рис. 293). Постарай­тесь запомнить его хорошенько. А теперь нарисуйте этот узор по памяти.

8.        Кусок бумаги имеет форму прямоугольника, одна сто­рона которого равна четырем, а другая — девяти еди­ницам длины. Разрежьте этот прямоугольник на две равные части так, чтобы, сложив их определенным образом, получить квадрат.

9.        Произвольный треугольник разрезать на три части так, чтобы можно было сложить прямоугольник.

10.   Какое наибольшее число различных сторон может быть в шестиугольнике, имеющем ось симметрии?

11.   Разрежьте правильную шестиконечную звезду на че­тыре части так, чтобы из них можно было составить параллелограмм.

задачи, головоломки, игры' width=432 height=281 src='http://i037.radikal.ru/1106/7e/561663fd3a2c.jpg

12.   Четвертые части квадрата и правильного треугольника отрезаны, как показано на рис. 294. Каждую из остав­шихся частей этих фигур разделить на четыре равные части.

13.   Дано игровое поле 4 х 4 и 16 квадратов с геометричес­кими фигурами, имеющими ось (одну или несколько) симметрии (рис. 295). Разместить квадраты в клетках поля так, чтобы ни по горизонтали, ни по вертикали не встречались фигуры, имеющие одинаковое число осей симметрии.

14.   Игр>а-конкурс букв и слов:

а) назовите буквы, имеющие одну, две оси симметрии;

б)  составьте слова, имеющие ось симметрии (горизон­тальную или вертикальную), например, ТОПОТ, СОН.

15.   Разделите лунный серп (рис. 296) двумя прямыми ли­ниями на шесть частей.

16.   Нарисуйте одним росчерком фигуры, изображенные на рис. 297 а, б.

17.   Какое минимальное число плоских разрезов нужно сделать, чтобы разделить куб на 64 маленьких куби­ка? После каждого разреза разрешается переклады­вать части куба как угодно.

задачи, головоломки, игры' width=404 height=371 src='http://s12.radikal.ru/i185/1106/13/bfd7967735a3.jpg

18. Какой из восьми рисунков маляр накатал на стену изображенным на рис. 298 валиком?

19; Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см. Получившиеся кубики выложили в ряд. Чему равна длица ряда?

20.    Разрезать квадрат на пять прямоугольников так, чтобы у любых двух соседних прямоугольников сторо­ны не совпадали.

21.    Из 12 спичек слбжены четыре квадрата (рис. 299). Сторона равна одной спичке. Переложите четыре спич­ки так, чтобы цолучдлрс*» три квадрата. Переложите три спички так, чтобы получилось три квадрата.

: Переложите спички, чтобы получилось шесть квадра­тов.

22.    Три спички расположены так, как показано на рис. 300. Добавьте еще только одну спичку так, чтобы концы спичек образовали квадрат.

задачи, головоломки, игры' width=434 height=349 src='http://s45.radikal.ru/i110/1106/6d/564aa61238cd.jpg

23.    Разрежьте правильный шестиугольник на девять оди­наковых частей разными способами.

24.    у мастера есть лист жести размером 22 х 15 кв.дм. Мастер хочет вырезать из него как можно больше прямоугольных заготовок размером 3×5 кв.дм. Помо­гите ему.

25.    Найдите площадь треугольника, изображенного на рис. 301.

26.    В математических рукописях XVIII в. можно встре­тить утверждение, что фигуры с равными периметра­ми ограничивают равные площади. Верно ли это? Приведите примеры.

27.    Развертка какого куба дана на рис. 302?

28.    Определите, из каких разверток можно сложить па­раллелепипед (рис. 303).

29.   Десять точек расположены так, как показано на рис. 304. Определите, сколько правильных треуголь­ников можно построить, считая эти точки вершинами

У 191

задачи, головоломки, игры' width=411 height=165 src='http://s45.radikal.ru/i109/1106/94/d77ce83e9337.jpg

треугольников. Какое наименьшее количество точек надо отбросить, чтобы не осталось ни одного правиль­ного треугольника?

30.   На книжной полке стоит трехтомник. Толщина каждо­го тома 3,5 см. Книжный червяк прополз от первой страницы первого тома до последней страницы третье­го тома (по прямой линии). Какой путь он проделал? Толщиной обложки пренебречь.

31.   Можно ли костяшками домино (каждая кость из двух клеток) выложить доску 8×8 клеток с двумя вырезан­ными противоположными угловыми клетками (рис. 305)?

32.   Может ли быть треугольник с очень большими сторо- : нами и очень маленькой площадью? Приведите при­мер.

33.   Какие фигуры могут получиться при пересечении двух треугольников? А при пересечении двух четырехуголь­ников? Возможно ли, чтобы при пересечении двух четырехугольников образовалось два четырехугольни­ка? А три четырехугольника?

34.   В скольких точках прямая может пересекать контур треугольника? четырехугольника? пятиугольника и т.д.?

35.   Равны ли два треугольника, если они имеют по три равных угла и по две равные стороны?

36.   Как посадить девять деревьев в десять рядов по три дерева в каждом ряду?

37.   На сколько частей можно разбить плоскость двумя прямыми? тремя прямыми? четырьмя прямыми? На f

192

гл.’. h.; -vj, „ь i-. ь ,-жц-й at


задачи, головоломки, игры' width=444 height=204 src='http://s008.radikal.ru/i303/1106/d6/9a9deffdb92b.jpg

сколько частей разбивают плоскость прямые, из кото­рых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, если прямых: а) четыре; б) пять; в) шесть?

38.    Для двух кубиков сделали по три развертки и переме­шали их (рис. 306, а—е). Найдите развертки каждого кубика.

39.    Вдоль бумажной ленты длиной 60 см проведена с двух сторон посередине прямая линия. Из этой ленты склеили лист Мебиуса. Какой путь проползет муравей вдоль отмеченной линии, пока не вернется в исходную точку?

40.    На плоскости нарисована окружность. С помощью чер­тежного треугольника найдите ее центр,

41.    Расставьте на плоскости шесть точек таким образом, что если соединить первую точку со второй, вторую с третьей и т. д., а шестую вновь с первой, то каждый из шести отрезков ровно один раз пересекается с каким-либо другим отрезком.

193

42.    На бумаге нарисована замкнутая линия (рис. 307). Перерисуйте эту линию в тетрадь. А теперь попробуй­те другим цветом провести какую-нибудь замкнутую линию, не проходящую через точки самопересечения уже проведенной линии и не самопересекающуюся на этой линии. Постарайтесь провести линию так, чтобы число точек пересечения линий разного цвета было бы нечетным. Как вы думаете, возможно ли это?

13 -Зак. 986

задачи, головоломки, игры' width=242 height=364 src='http://s012.radikal.ru/i319/1106/dc/ab1554224648.jpg

43.    Чему равны углы между отрезками, проведенными на гранях куба (рис. 308)?

44.    На рис. 309, а—в изображены части некоторых орна­ментов. Внимательно рассмотрите их и, обнаружив закономерность в их построении, дорисуйте.

45.    Рассмотрим линейку длиной 6 см. Если поставить на ней две метки: одну на расстоянии 1 см от одного края, а вторую на расстоянии 2 см от другого (рис. 310, а), то с помощью этой линейки, сдвигая ее определенным образом, мы можем измерить любой из бтрезков длиной 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см и б см. С помощью линейки на рис. 310, б можно измерить все целочисленные отрезки от 1 см до 13 см. Убедитесь в этом. Придумайте линейку длиной 9 см с тремя метка­ми для измерения целочисленных отрезков от 1 см до 9 см. Придумайте линейку длиной 13 см с тремя мет­ками внутри, отличную от уже рассмотренной.

задачи, головоломки, игры' width=441 height=701 src='http://i037.radikal.ru/1106/f6/db92206a2878.jpg
задачи, головоломки, игры' width=450 height=320 src='http://s009.radikal.ru/i309/1106/3d/ff8e7b85e251.jpg

46.    Докажите, что,в прямоугольном треугольнике, один из углов которого равен 30°, наибольшая сторона в два раза больше наименьшей.

47.    Замостите плоскость одинаковыми «скобками», изо- браженными на рис. 311, а, б.

48.    Ученик нарисовал на доске треугольник и отметил середины его сторон. Затем треугольник стерли, но отмеченные точки остались. Нельзя ли восстановить треугольник?

49.    Как разрезать треугольник на два равнобедренных треугольника, если его углы равны: а) 20°, 40 , 120°; б) 20°, 60°, 100°?

50.   Разрезать на наименьшее число равнобедренных тре­угольников треугольник с углами: а) 10°, 70°, 100°; б) 50°, 60°, 70°.

51.   Даны две параллельные прямые и точка между ними. Как построить окружность, касающуюся данных пря­мых и проходящую через данную точку?

52.    Разрежьте правильный треугольник на-: а) три одина­ковые трапеции (трапеция — это четырехугольник, у

задачи, головоломки, игры' width=412 height=337 src='http://s014.radikal.ru/i328/1106/f0/d9ce6c450c02.jpg

которого есть одна пара параллельных сторон); б) три одинаковых пятиугольника.

53.    Разрежьте квадрат на два равных: а) пятиугольника; б) шестиугольника.

54.    Через точку на диагонали прямоугольника .провели прямые, параллельные его сторонам (рис. 312). У ка­кого прямоугольника, А или Б,, больше площадь?

55.    Комната имеет вид шестиугольника (рис. ЗЛ.З). Укажи­те внутри комнаты точки, из которых видны целиком все его стороны. Попробуйте придумать комнату шес­тиугольной формы, внутри которой есть точки, из которых ни одна сторона не видна полностью.

56.   Докажите, что меньший из квадратов (рис. 314) имеет, площадь в четыре раза меньшую, чем больший.

57.    На рис. 315 изображен план городского сквера. В центре находится бассейн. В точках А и Б — вход и выход из сквера» Отрезки прямых -г- дорожки. Сколь­кими способами можно пройти, из А в Б, если двигать-

задачи, головоломки, игры' width=452 height=207 src='http://s002.radikal.ru/i197/1106/a9/4b9c81ca3578.jpg

с я можно лишь вверх или вправо (можно идти по границе сквера и кромке бассейна)?

58.    Разрезать квадрат 13 х 13 на пять прямоугольников так, чтобы все десять чисел, выражающих стороны прямоугольников, были бы различными целыми чис­лами.

59.    Рассмотрим куб 3 х 3 х 3, составленный из 27 одина­ковых кубиков. Со всех шести сторон (спереди и сзади, справа и слева, сверху и снизу) мы видим квадрат 3×3. Какое наибольшее число кубиков можно убрать, чтобы со всех сторон был виден квадрат 3 х 3 и при этом оставшаяся система кубиков не развалилась?

60.    На рис. 316 проиллюстрирован парадокс. Квадрат 8×8 разрезан на части, из которых составлен прямо­угольник 13 х 5. Постарайтесь объяснить, в чем здесь дело.

61.    Если вы считаете, что в математике, в геометрии в частности, все уже известно, то очень и очень ошибае­тесь. В ней великое множество нерешенных задач. Некоторые из них остаются нерешенными столетиями. Так, лишь в 1976 г. с помощью современных компью­теров математиками В. Хикеном и К. Аппелем была разрешена знаменитая проблема четырех красок. Они доказали, что любую географическую карту можно окрасить в четыре цвета так, что страны, имеющие общую границу, будут окрашены в разные цвета. Правда, в 1975 г. (за год до этого) в апрельском номере американского журнала «В мире науки» была приве-

задачи, головоломки, игры' width=409 height=450 src='http://i031.radikal.ru/1106/db/0dd4a3b194e2.jpg

дена карта, которую, как утверждал ее составитель, нельзя окрасить нужным образом в четыре цвета. Покажите, что это всего лишь первоапрельская шутка: раскрасьте эту карту (рис. 317) из 100 стран в четыре цвета так, чтобы соседние страны были окра­шены в разные цвета.